Teoría de juegos

Cuando un sujeto debe tomar una decisión, el resultado que obtenga dependerá no solo de sus propias acciones, sino también de las decisiones que tomen otros individuos que interactúan directa o indirectamente con él.

La teoría de juegos es una rama de las matemáticas que se enfoca en analizar el comportamiento estratégico de los individuos y cómo este puede afectar los resultados de una interacción entre ellos. Es útil para analizar diversas situaciones de interés económico (p. ej., mercados oligopólicos, asimetrías de información, subastas o licitaciones y cumplimiento bajo contratos incompletos). Sin embargo, su aplicación no solo se enmarca en la economía, sino también en ciencia política, psicología, biología e informática, entre otras áreas. Básicamente es utilizada para modelar situaciones de negociación, conflictos, competencia, cooperación y otros tipos de interacciones análogas.

El objetivo final de la teoría de juegos es determinar la mejor estrategia posible para cada jugador y el resultado que se puede esperar en cada situación.

Los primeros desarrollos de esta teoría se encuentran en el trabajo escrito en 1944 por John von Neumann (matemático) y Oskar Morgenstern (economista), que se titula “Theory of Games and Economic Behavior”.

Un juego es estático cuando los jugadores actúan de forma simultánea, es decir, no en un sentido cronológico, sino sin saber lo que los otros jugadores han escogido. Es importante mencionar que, aunque un juego sea estático, esto no quiere decir que sea tenga información incompleta. En consecuencia, este tipo de juegos se pueden clasificar entre aquellos en los que existe información completa y en los que existe información incompleta.

Un juego estático con información completa es el dilema del prisionero. Como ya se explicó, en este caso ambos jugadores conocen las posibles estrategias del otro jugador, y sus pagos. Solamente tienen la incertidumbre de cuál será la decisión del otro (ya que deben decidir su estrategia al mismo tiempo).

Por otro lado, un ejemplo de un juego estático con información incompleta son las subastas. En este juego, los jugadores (empresas) compiten para adquirir un objeto (p. ej., la licitación de un proyecto) a través de una subasta. Los jugadores no conocen los valores que los demás jugadores están dispuestos a pagar, es decir, desconocen el valor que los demás jugadores asignan al objeto.

En la subasta, los jugadores hacen ofertas. El jugador que realiza la oferta más alta gana el objeto y paga su oferta. El objetivo de los jugadores es adquirir el objeto al menor costo posible, pero la estrategia que cada jugador utiliza dependerá de su propia valoración del objeto y de su percepción de la valoración de los demás jugadores.

Otro ejemplo de juego estático con información completa son los del tipo “Matching Pennies”. Sin embargo, a diferencia de los ejemplos anteriores, en donde la cooperación era un elemento fundamental, en el siguiente ejemplo se explica un juego de suma cero, en donde el éxito de un jugador depende del fracaso del otro. La matriz de este juego se presenta en la Tabla 4.

Cada jugador tiene una moneda y debe mostrar una cara de ésta. Si ambos jugadores muestran la misma cara, entonces el jugador A gana el juego (1 punto), mientras que si muestran distintas caras el jugador B gana el juego (1 punto). En este caso, a cada jugador le gustaría saber qué es lo que haría el otro (y al mismo tiempo, que el otro no conozca lo que él hará).

De una forma similar, pensemos en la ejecución de un penal de futbol, en donde hay dos jugadores (pateador y arquero), que tienen 3 opciones (estrategias) cada uno: (i) izquierda, (ii) centro y (iii) derecha. El éxito de cada uno depende directamente del fracaso del otro.

Por último, un ejemplo de coordinación en un juego estático es el de “batalla de los sexos”, en donde se plantea una cita entre dos jugadores y ellos olvidaron el lugar de encuentro. El mayor pago se recibe cuando ambos escogen el mismo lugar (p. ej., partido de fútbol o museo), pero no tienen la posibilidad de contactarse para coordinarse. Además, cada uno tiene preferencias de un lugar por sobre el otro (es decir, le reporta mayor utilidad). En este caso, el jugador A prefiere ir al partido de fútbol por sobre el museo, y el jugador B prefiere ir al museo por sobre el partido de fútbol. Sin embargo, el peor escenario para ambos es que no puedan encontrarse y fracase la cita. Este ejemplo se resume en la Tabla 5.

Por lo tanto, es posible darse cuenta de que la forma de resolver estos juegos, o los potenciales resultados, dependerá de los distintos incentivos que tenga cada uno, además de las reglas que se plantan en el juego.

A diferencia de lo planteado anteriormente, un juego es dinámico cuando describe una secuencia de eventos o decisiones que se desarrollan a lo largo del tiempo, y en el que las decisiones tomadas en un momento dado pueden afectar el resultado del juego en momentos posteriores.

En estos casos, cada jugador puede tener varias opciones de acción disponibles en cada punto del tiempo, y la elección de cada jugador puede influir en la elección del otro jugador en el futuro. Las decisiones pueden ser tomadas simultáneamente o en secuencia, y la información disponible para cada jugador puede ser completa o incompleta.

Un ejemplo de un juego dinámico con información completa es el juego de ajedrez. En este, los jugadores conocen todas las posiciones y movimientos de las piezas en el tablero. Así, la información completa permite a los jugadores planificar sus movimientos y anticipar los movimientos de su oponente.

En el ajedrez, los jugadores tienen como objetivo capturar al rey del oponente (jaque mate), lo que finaliza el juego (otorgándole la victoria al que captura el rey). Cada jugador tiene una serie de movimientos disponibles en cada turno, y el juego se desarrolla en una secuencia de turnos.

Otro ejemplo concreto, y relevante para el derecho de competencia, es la competencia entre empresas. Es de esperar que el comportamiento de una empresa (p. ej., su estrategia comercial) sea distinta si la decisión por la que opta la realiza de forma simultánea con su competidor o si la realiza luego de observar qué hace la competencia. Del mismo modo, si una empresa sabe que otras firmas observan su decisión antes de actuar, tendrá en cuenta esto al momento de tomar su decisión (como puede ocurrir, por ejemplo, en el modelo “Líder-Seguidores” en un oligopolio).

Con esto en mente, es relevante incorporar al análisis una dimensión temporal. En el siguiente ejemplo podemos observar el comportamiento de dos países (A y B) que se enfrentan en un conflicto.

El primero en jugar es el país A, el que debe tomar la decisión de invadir o no al país B. En caso de invadir, el país B debe escoger entre pelear o rendirse. La Figura 1 diagrama lo escrito anteriormente en un árbol de decisión.

Figura 1: Árbol de decisión

Fuente: Apunte Microeconomía II Teoría de Juegos y Aplicaciones – Gonzalez, Hojman y Sepúlveda (2014)

Esto se conoce como árbol de decisión y permite ilustrar las distintas situaciones que enfrentan los jugadores en juegos dinámicos. Cada círculo negro es un nodo de decisión, y las ramas que surgen de cada nodo son las posibles decisiones que puede tomar cada jugador, en ese nodo. Los círculos grises son nodos terminales, que indican el fin del juego.

Cada nodo de decisión tiene una etiqueta que indica qué jugador toma la decisión. En este caso, el primero en jugar es el país A, y si la decisión es invadir, el país B jugará en el segundo turno. Por último, los nodos terminales tienen asociado un pago (indicado numéricamente entre paréntesis).

En este ejemplo, el mayor pago posible para el país A se logra cuando toma la estrategia de invadir, y el país B decide rendirse, otorgando un pago de 9 y 6, respectivamente. Por su parte, el país B prefiere no ser invadido (recibiendo un pago de 8).

Entonces, ¿qué resultado se puede esperar de este juego dinámico? Para tener una aproximación se puede escribir el juego de forma normal, con una matriz de 2×2, presentada en la Tabla 6.

Bajo este formato, existen dos equilibrios de Nash en este juego; [No invadir, Pelear] e [Invadir, Rendirse]. El primero ocurre porque, si el país B está dispuesto a pelear, el país A no tiene incentivos a invadir (su pago será de 7 en vez de 8). Por otro lado, [Invadir, Rendirse] también es un equilibro de Nash porque cuando el país A decide invadir, el país B no tiene incentivos a pelear (su pago será de 6 si se rinde versus 2 si pelea).

Es posible darse cuenta que, en la dimensión dinámica del juego, el equilibrio [No invadir, Pelear] no existe, dado que la estrategia pelear solo se activa si el país A decide invadir.

Por lo tanto, con esto es posible introducir el concepto de equilibro perfecto en subjuegos. En este caso particular, el equilibrio [Invadir, Rendirse], además de ser un equilibro de Nash (donde ningún agente tiene incentivos para desviarse), es un equilibro perfecto en subjuegos, y la explicación está en que es un equilibro que no se basa en una amenaza no creíble.

Para diferenciar un equilibro de Nash de un equilibro perfecto en subjuegos, se utiliza la inducción hacia atrás. Como su nombre lo indica, el juego debe empezar a resolverse desde atrás (nodos terminales) evaluando la respuesta optima y con eso avanzar a los nodos anteriores.

Es posible resolver el ejemplo anterior viendo las posibles decisiones del país B. Entre rendirse (pago de 6) y pelear (pago de 2), el país B decide rendirse. Por otro lado, si el país A decide no invadir, el país B no puede tomar ninguna decisión y recibe un pago de 8.

Luego vamos al nodo de decisión de A, en donde puede optar por invadir o no invadir. El primero le entrega un pago de 9, mientras que no invadir un pago de 8. Por lo tanto, si los países actúan de forma racional, el equilibro perfecto en subjuegos es [Invadir, Rendirse].

La teoría de juegos se aplica en muchos contextos de decisión en materia de competencia. Esto pues, en este ámbito, los diferentes agentes están constantemente inmersos en distintas situaciones y con diferentes incentivos.

En modelos de competencia oligopólica, es común que las empresas actúen de forma estratégica, por lo mismo, es una rama en donde se utiliza de sobremanera la teoría de juegos (ver Investigación de J.L. Bonifaz, “Teoría de Oligopolios y Análisis de Mercado Relevante: El caso del Mercado de Comercialización de Gas Natural Vehicular”).

Siguiendo a González (2011), la colusión puede entenderse como un juego en donde la competencia de las empresas puede reducirse a dos opciones, competir o colaborar entre ellas. Los beneficios asociados a cada estrategia se presentan en la Tabla 7 y dependen tanto de su estrategia como la del rival.

Si el juego es de una única vez, ambas empresas decidirán competir. Si bien ambas empresas son conscientes de que estarían mejor si colaboran entre ellas, existe el riesgo inherente de que, si una colabora, la otra decida competir capturando las rentas (fijando un precio más bajo) y dejando en peor posición a su rival. Precisamente en este punto radica la inestabilidad de un cartel.

Ahora bien, como sugiere González, la interacción repetida en el tiempo entre las empresas es una forma de sostener una colusión (es decir, la jugada “cooperar”). Si el castigo por desviarse de un acuerdo se puede aplicar en el periodo siguiente (no colaborando nunca más), es posible sostener una colusión en el tiempo.

Como predice la teoría, entre más pacientes sean las empresas, exista un horizonte temporal indefinido (pero de largo plazo) y la posibilidad del castigo sea aplicable en el periodo siguiente de un potencial desvío, un acuerdo colusivo es sostenible en el tiempo.

Considerando este fenómeno, las agencias de competencia implementan distintas herramientas para poder desmantelar estos carteles. La más importante de estas herramientas es la delación compensada. Con ello, las agencias buscan que una empresa se desvié del acuerdo, delatando a su rival y otorgándole inmunidad en el juicio posterior por la práctica anticompetitiva (ver columna de opinión de C. Agostina y F. Irarrázabal “Caso Tissue y los nuevos desafíos para la delación compensada”).

Dependiendo de la jurisdicción, este mecanismo -delación compensada-puede ser aplicado solamente para un agente, o para los dos primeros que delatan, y puede incluir rebajas de pena, eximición total, entre otros beneficios.

De este modo, la teoría de juegos aporta para que las agencias logren crear mecanismos que entreguen los incentivos suficientes para que las empresas opten por la estrategia de desviarse de un acuerdo colusivo y delatar a su rival (ver nota CeCo “La delación compensada y los bajos costos de la colusión en Ecuador”).

Bonífaz, J. L. (2022). Teoría de Oligopolios y Análisis de Mercado Relevante: El caso del Mercado de Comercialización de Gas Natural Vehicular. Investigaciones CeCo.

González, A. (2011). Prácticas colusivas. La libre competencia en el Chile del Bicentenario, 143-160.

Nash Jr, J. F. (1950). Equilibrium points in n-person games. Proceedings of the national academy of sciences, 36(1), 48-49.

Mas-Colell, A., Whinston, M. D., & Green, J. R. (1995). Microeconomic theory (Vol. 1). New York: Oxford university press.

Von Neumann, J., & Morgenstern, O. (2007). Theory of games and economic behavior. In Theory of games and economic behavior. Princeton university press.