Equilibrio de Nash

En algunos juegos, cada jugador puede contar con una estrategia dominante, es decir, una estrategia que le otorga un mayor pago independientemente de lo que hagan los demás jugadores. El Juego 1 ilustra esta situación.

Juego 1: Equilibrio de estrategias dominantes

Fuente: Elaboración propia en base a un juego de Pindyck y Rubinfeld (2014).

En este caso, el Jugador 1 dispone de dos estrategias posibles, A y B, y la estrategia A le reporta un resultado superior en todos los escenarios posibles, sin importar si su adversario (el Jugador 2) elige A o B. Por ejemplo, si el Jugador 2 elige A, el Jugador 1 también elegirá A, ya que su pago será 10 en lugar de 6 (que obtendría si eligiera B). Del mismo modo, si el Jugador 2 elige B, el Jugador 1 volverá a escoger A, puesto que es la estrategia que le entrega un mayor pago. En consecuencia, para el Jugador 1, A es una estrategia dominante, porque, independientemente de lo que haga su rival, es la opción que le proporciona el mayor beneficio. Por el lado del Jugador 2 ocurre lo mismo: para él, A también constituye una estrategia dominante, ya que le otorga el mejor pago sin importar la decisión del otro jugador.

Cuando todos los jugadores poseen una estrategia dominante, el resultado en el que cada uno elige dicha estrategia se denomina equilibrio en estrategias dominantes. En este tipo de equilibrio, cada jugador selecciona su mejor acción sin necesidad de considerar estratégicamente la decisión de los demás (Pindyck y Rubinfeld, 2014). De acuerdo con el Juego 1, el equilibrio en estrategias dominantes corresponde al resultado (A, A).

Sin embargo, los juegos con estrategias dominantes para todos los jugadores no son la situación más frecuente en la teoría de juegos. En muchos casos, uno o más jugadores no disponen de una estrategia dominante, y su mejor decisión depende de lo que hagan los demás. En estos contextos surge la relevancia del equilibrio de Nash.

De manera informal, el equilibrio de Nash puede definirse como un conjunto de estrategias en que cada jugador está eligiendo su mejor respuesta frente a las estrategias escogidas por los demás. En palabras de Pindyck y Rubinfeld (2014), se trata de: “un conjunto tal de estrategias (o de actos) en que cada jugador hace lo mejor para él, dado lo que hacen sus adversarios”. En este sentido, en un equilibrio de Nash, ningún jugador tiene incentivos para desviarse unilateralmente. La Tabla 1 muestra las diferencias entre el equilibrio de Nash con el equilibrio en estrategias dominantes.

Tabla 1: Diferencia entre equilibrio en estrategias dominantes y equilibrio de Nash

Fuente: Pindyck y Rubinfeld (2014).

Un punto importante es que todo equilibrio en estrategias dominantes es también un equilibrio de Nash, ya que, si una estrategia es óptima independientemente de lo que hagan los demás jugadores, entonces ciertamente lo será dado lo que estos efectivamente hacen en equilibrio. Sin embargo, no todo equilibrio de Nash es un equilibrio en estrategias dominantes, pues puede ocurrir que la mejor estrategia de un jugador dependa de la acción específica de los demás (MIT, 2012). El Juego 2 ilustra un juego con equilibrio de Nash.

Juego 2: Equilibrio de Nash

Fuente: Elaboración propia en base a un juego de Pindyck y Rubinfeld (2014).

En este caso, los pagos del Jugador 2 se mantienen iguales a los del juego anterior. Por lo tanto, entre sus dos estrategias posibles, A y B, la estrategia A le reporta un resultado superior en todos los escenarios posibles, independientemente de lo que haga su adversario. En consecuencia, para el Jugador 2, A sigue siendo una estrategia dominante. La situación cambia para el Jugador 1. En este nuevo juego, sus pagos son distintos y su estrategia óptima depende de lo que juegue el Jugador 2. Por ejemplo, si el Jugador 2 elige A, la mejor respuesta del Jugador 1 es jugar A (10 > 6). En cambio, si el Jugador 2 elige B, la mejor respuesta del Jugador 1 es jugar B (20 > 15). En este caso, no existe una estrategia que sea siempre óptima para el Jugador 1, su mejor decisión depende de la acción elegida por el Jugador 2.

Entonces, ¿cómo se resuelve este juego? Aquí adquiere relevancia el supuesto de conocimiento común de racionalidad (common knowledge). El Jugador 1 sabe que A es la estrategia dominante del Jugador 2, es decir, sabe que el Jugador 2 jugará A. Dado esto, el Jugador 1 elegirá su mejor respuesta frente a A, que también es A. De esta manera, el juego vuelve a resolverse en el resultado (A, A), pero ahora a través del razonamiento estratégico propio del equilibrio de Nash, y no porque ambos jugadores tengan estrategias dominantes.

Como se señaló anteriormente, el equilibrio de Nash corresponde a un perfil de estrategias en el que cada jugador hace lo mejor para sí mismo, dado lo que hacen los demás. Esta idea se basa en el concepto de mejor respuesta (best response). Sea un juego con N jugadores, para cada jugador i sea S_{i} su conjunto de estrategias y u_{i}(s_{i},s_{-i}) su función de pagos donde s_{i} representa la estrategia del jugador i y donde s_{-i} representa el perfil de estrategias de todos los jugadores distintos de i. Se considera que s_{i}^{BR} es una mejor respuesta si:

u_{i}(s_{i}^{BR},s_{-i}) \geq u_{i}(s_{i},s_{-i}), \forall s_{i} \in S_{i}, Fuente: MIT (2012).

Es decir, si s_{i}^{BR} maximiza la utilidad del jugador i, dado el perfil de estrategias escogido por los demás jugadores.

La diferencia entre una mejor respuesta y una estrategia dominante es que, la mejor respuesta s_{i}^{BR} está definida respecto de un perfil específico s_{-i}, es decir para una estrategia puntual de los rivales. En cambio, una estrategia dominante debe maximizar la utilidad para todo posible perfil de estrategias de los demás jugadores, es decir, para todo s_{-i} \in S_{-i} (MIT, 2012). En otras palabras, la mejor respuesta es una noción condicional (depende de lo que hagan los otros), mientras que la estrategia dominante es incondicional.

En consecuencia, el equilibrio de Nash corresponde al punto de intersección de las mejores respuestas de todos los jugadores: cada jugador está jugando una mejor respuesta a las estrategias de los demás.

De manera formal, un perfil de estrategias s^{*}=(s_{1}^{*},...,s_{n}^{*}) es un equilibrio de Nash si y solo si s^{*} es una mejor respuesta a s_{-i}^{*}=(s_{1}^{*},...,s_{i-1}^{*},s_{i+1}^{*},...,s_{N}^{*}) para todo i (MIT, 2012), es decir:

u_{i}(s_{i}^{*}, s_{-i}^{*}) \geq u_{i}(s_{i},s_{-i}^{*}), \forall s_{i} \in S_{i}, Fuente: MIT (2012)

Esto significa que, dado que los demás jugadores están jugando s_{-i}^{*}, el jugador i no puede mejorar su utilidad eligiendo una estrategia distinta de s_{i}^{*}.

La definición formal refleja la idea de estabilidad frente a desviaciones unilaterales: ningún jugador tiene incentivos para cambiar su estrategia por sí solo. Si decidiera desviarse, obtendría una utilidad menor o, como máximo, igual a la que obtiene en equilibrio.

Hasta este punto, el análisis se ha centrado en juegos en los que los jugadores eligen estrategias puras, es decir, seleccionan una acción específica de manera determinística. En este contexto, cada jugador escoge una alternativa concreta dentro de su conjunto de estrategias. Por ejemplo, en el dilema del prisionero, cada participante decide entre confesar o no confesar, no existe un componente aleatorio en la decisión.

Sin embargo, no todos los juegos admiten un equilibrio de Nash en estrategias puras. Existen situaciones estratégicas en las que, para cualquier combinación de acciones puras, al menos un jugador tiene incentivos para desviarse. En estos casos, el equilibrio de Nash no existe dentro del conjunto de estrategias puras. El Juego 3 ilustra esta situación.

Juego 3: Matching Pennies

Fuente: Elaboración propia

En este juego, si ambos jugadores eligen la misma estrategia (A o B) el Jugador 1 debe pagar un peso al Jugador 2. En cambio, si eligen estrategias distintas, el Jugador 2 debe pagar un peso al Jugador 1.

¿Tiene este juego un equilibrio de Nash en estrategias puras? Si es que, por ejemplo, el juego se encuentra en el resultado (A, A), el Jugador 2 recibe un peso y el Jugador 1 pierde un peso. En consecuencia, el Jugador 1 tendrá incentivos para desviarse unilateralmente y cambiar su estrategia a B, pasando al resultado (B, A), donde ahora será él quien reciba el pago. Sin embargo, en ese nuevo resultado, el Jugador 2 tendrá incentivos para desviarse y cambiar su estrategia a B, llevando el juego a (B, B), donde nuevamente obtiene el pago (y así sucesivamente). En definitiva, cualquiera sea el perfil de estrategias puras considerado, siempre habrá al menos un jugador con incentivos a desviarse unilateralmente. Por lo tanto, el juego no posee un equilibrio de Nash en estrategias puras.

Para resolver este problema, se introduce el concepto de estrategias mixtas. Según Pindyck y Rubinfeld (2014), estas son: “estrategias en las que un jugador elige aleatoriamente entre dos o más opciones posibles, basándose en un conjunto de probabilidades previamente determinadas”. Es decir, los jugadores ya no eligen entre jugar una u otra estrategia de manera determinística, sino que deben asignar probabilidades a cada alternativa, por ejemplo, 3/4 de probabilidad de jugar A y 1/4 de jugar B. El Juego 4 ilustra las estrategias mixtas.

Juego 4: Matching Pennies con estrategias mixtas

Fuente: Elaboración propia

Ahora los jugadores 1 y 2, en vez de elegir de manera determinística si jugar A o B, asignan probabilidades a cada estrategia. Por ejemplo, el Jugador 1 juega A con probabilidad p (y B con probabilidad 1-p), mientras que el Jugador 2 juega A con probabilidad q (y B con probabilidad 1-q).

Para encontrar el equilibrio de Nash en estrategias mixtas, se debe identificar la intersección de las mejores respuestas de ambos jugadores. En este contexto, las mejores respuestas se determinan comparando los pagos esperados que obtiene cada jugador al elegir A o B, dado que el rival está mezclando ciertas probabilidades.

En primer lugar, se analiza la situación del Jugador 1. Si elige A, su pago dependerá de lo que haga el Jugador 2: con probabilidad q, el Jugador 2 juega A y con probabilidad 1-q, juega B. Según la matriz del juego, si ambos juegan A, el Jugador 1 obtiene -1, si el Jugador 1 juega A y el Jugador 2 juega B, obtiene 1. Por lo tanto, el pago esperado del Jugador 1 al jugar A es:

E_{1}(A)=q·(-1)+(1-q)·1.

Desarrollando esta expresión, se obtiene:

E_{1}(A)=-q+1-q=-2q+1.

Análogamente, si el Jugador 1 decide jugar B, su pago será 1 cuando el Jugador 2 juegue A (lo que ocurre con probabilidad q) y será -1 cuando el Jugador 2 juegue B (con probabilidad 1-q). Por lo tanto, su pago esperado al jugar B es:

E_{1}(B)=q·1+(1-q)·(-1).

Desarrollando:

E_{1}(B)=q-1+q=2q-1.

Estas ecuaciones reflejan una idea fundamental: el pago esperado del Jugador 1 depende directamente de la probabilidad q con la que el Jugador 2 juega A. Si q es alta (es decir, si el Jugador 2 tiende a jugar A), entonces E_{1}(B) será mayor que E_{1}(A), por lo que al Jugador 1 le convendrá jugar B. En cambio, si q es baja, entonces E_{1}(A) será mayor, y le convendrá jugar A. A partir de lo anterior, se distinguen tres casos:

• Primero, si E_{1}(A)>E_{1}(B), la mejor respuesta del Jugador 1 es jugar A (p=1). Desarrollando:

E_{1}(A)>E_{1}(B)

-2q+1>2q-1

q<\frac{1}{2}

Es decir, si q<\frac{1}{2}, la mejor respuesta del Jugador 1 es jugar A (p=1).

• Segundo, si E_{1}(A)<E_{1}(B), la mejor respuesta del Jugador 1 es jugar B (p=0). Desarrollando:

E_{1}(A)<E_{1}(B)

-2q+1<2q-1

q>\frac{1}{2}

Es decir, si q>\frac{1}{2}, la mejor respuesta del Jugador 1 es jugar B (p=0).

• Tercero, si E_{1}(A)=E_{1}(B), el Jugador 1 es indiferente entre jugar A y B. Desarrollando:

E_{1}(A)=E_{1}(B)

-2q+1=2q-1

q=\frac{1}{2}

Es decir, si q=\frac{1}{2}, el Jugador 1 es indiferente entre jugar A y B.

El punto clave es que el Jugador 1 estará dispuesto a mezclar entre A y B únicamente cuando ambos pagos esperados sean iguales, es decir, cuando E_{1}(A)=E_{1}(B). Ese valor de q determinará la probabilidad que hace indiferente al Jugador 1 entre sus dos estrategias, condición necesaria para que exista un equilibrio de Nash en estrategias mixtas. Entonces ¿Qué jugará el Jugador 1 cuando sea indiferente entre A y B? al ser indiferente entre ambas opciones, cualquier probabilidad de p es una mejor respuesta, es decir, un espacio continuo entre 1 y 0.

Luego, al ser un juego simétrico, la mejor respuesta para el Jugador 2 se resuelve de la misma forma, llegando otra vez a tres resultados:

• Si p>\frac{1}{2}, la mejor respuesta del Jugador 2 es jugar A (q=1)
• Si p<\frac{1}{2}, la mejor respuesta del Jugador 2 es jugar B (q=0)
• Si p=\frac{1}{2}, el Jugador 2 es indiferente entre jugar A y B, por lo que su mejor respuesta será cualquier q  (espacio continuo entre 0 y 1).

La Figura 1 muestra gráficamente este resultado: las funciones de mejor respuesta de ambos jugadores se interceptan precisamente en el punto (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), el cual constituye el equilibrio de Nash en estrategias mixtas.

Figura 1: Equilibrio de Nash con estrategias mixtas para el Juego 4 (Matching Pennies).

Fuente: Elaboración propia.

Otro ejemplo muy claro de equilibrio de Nash se encuentra en los modelos oligopólicos (modelos de competencia imperfecta). Estos modelos se caracterizan por la interdependencia estratégica entre las decisiones de las empresas: cada firma debe considerar lo que hará su rival al momento de elegir su propia acción. En los mercados oligopólicos, el reducido número de empresas implica que cada una es consciente de que sus decisiones afectan directamente a las demás. Esta interacción estratégica significa que, al maximizar sus beneficios, cada empresa debe anticipar la reacción de sus competidores. En otras palabras, cada firma elige su mejor respuesta teniendo en cuenta las decisiones de sus rivales (CeCo UAI, 2021).

Un caso clásico que ilustra esta lógica es el modelo de Cournot con dos empresas. Considérense dos empresas simétricas (ambas con costo marginal constante c) que compiten en cantidades en un mercado cuya demanda inversa está dada por P=a-Q  donde Q=q_{i}+q_{j}.

La función de beneficios de la empresa i es:

\pi_{i}=(P-c)*q_{i}

Reemplazando P=a-Q y Q=q_{i}+q_{j}:

\pi_{i}=(a-q_{i}-q_{j}-c)*q_{i}

De esta expresión se observa inmediatamente que los beneficios de la empresa i dependen no solo de su propia cantidad q_{i}, sino también de la cantidad producida por la empresa rival q_{j}, ya que esta afecta el precio de mercado. Esta dependencia es el núcleo de la interacción estratégica (CeCo UAI, 2021).

Posteriormente, cada empresa elige su cantidad maximizando beneficios. Derivando con respecto a q_i, la condición de primer orden queda de la siguiente forma:

\frac{\partial \pi_{i}}{\partial q_{i}}=a-2q_{i}-q_{j}-c=0

Reordenando se obtiene la función de reacción q_{i}(q_{j}):

q_{i}=\frac{a-q_{j}-c}{2}

Esta función de reacción será la mejor respuesta de la empresa i, para la cantidad q_{j} que elija la empresa j. Las firmas son simétricas por lo que la función de reacción q_{j}(q_{i}) será:

q_{i}=\frac{a-q_{j}-c}{2}

El equilibrio de Nash se encuentra en el punto donde ambas funciones de reacción se interceptan, es decir, donde cada empresa está eligiendo su mejor respuesta frente a la decisión de la otra. Resolviendo el sistema, se obtiene:

q_{i}^{*}=q_{j}^{*}=\frac{a-c}{3}

Este resultado representa el equilibrio de Nash del modelo de Cournot: ambas empresas maximizan sus beneficios teniendo en cuenta la reacción de su competidora. Si alguna de ellas se desviara unilateralmente de esta cantidad, obtendría menores beneficios. La Figura 2 muestra de forma gráfica el resultado obtenido anteriormente si es que reemplazamos a = 1, y c = 0.

Figura 2: Equilibrio de Nash en el modelo de Cournot.

Fuente: Elaboración propia

Este ejemplo muestra de manera concreta cómo el equilibrio de Nash puede entenderse como el punto de intersección de mejores respuestas. Cada empresa internaliza la reacción estratégica de su rival y el resultado final es un equilibrio estable frente a desviaciones unilaterales.

Las conclusiones del modelo se mantienen en casos con más de dos empresas o con distintas formas funcionales de demanda y costos. No obstante, por simplicidad expositiva, aquí se considera el caso de dos empresas simétricas (Para mayor profundidad, véase el Glosario CeCo: “Cournot (modelo)”).