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Hotelling (modelo)

1. Marco general

La diferenciación de productos se refiere a una situación en la que las firmas ofrecen productos que no son idénticos (u homogéneos) y que, por tanto, son sustitutos imperfectos entre sí. En este escenario, una reducción de precio por parte de una firma no implica necesariamente que sus competidores pierdan toda su demanda, por lo que la diferenciación tiende a suavizar la intensidad de la competencia en precios.

La heterogeneidad de productos o diferenciación de productos puede surgir de distintas fuentes. Una de las más conocidas corresponde a diferencias en los atributos de los productos, respecto de los cuales los consumidores tienen distintas preferencias. Otras fuentes adicionales de diferenciación incluyen los costos de cambio y los costos de búsqueda. Otra fuente posible, y la más relevante para este glosario, es la localización o ubicación física de las firmas, en contextos donde adquirir un producto implica incurrir en costos de transporte, por ejemplo, trasladarse para ir a comprar a un supermercado específico. Esta última fuente de diferenciación es precisamente la que motiva al modelo de Hotelling.

El modelo presentado lleva su nombre por Harold Hotelling (1895-1973), matemático y estadístico estadounidense, quien, en 1929, publicó su artículo “Stability in Competition”, donde desarrolla uno de los modelos fundamentales de competencia espacial, el ya mencionado modelo de Hotelling. En este, las firmas se encuentran ubicadas en distintos puntos del espacio y los consumidores incurren en un costo al desplazarse para adquirir el producto. De esta forma, la decisión de compra no depende únicamente del precio cobrado por cada firma, sino del costo efectivo de adquisición, compuesto por el precio del producto más el costo de transporte asociado a la distancia recorrida.

Un buen punto de referencia para entender cómo la diferenciación horizontal modifica la competencia en precios es el modelo de Bertrand. En este modelo, dos firmas que ofrecen un producto homogéneo, enfrentan costos marginales iguales y compiten simultáneamente en precios, llegan a un equilibrio donde el precio es igual al costo marginal, reproduciendo el resultado competitivo incluso con solo dos firmas, fenómeno conocido como paradoja de Bertrand. En cambio, el modelo de Hotelling modifica este resultado al incorporar costos de transporte, que generan diferenciación entre las firmas al reducir la sustituibilidad entre ellas desde la perspectiva del consumidor. En particular, cambiarse a un competidor más lejano implica asumir un costo adicional, de modo que, mientras mayor sea el costo de transporte, mayor será el grado de diferenciación. En consecuencia, se atenúa la presión competitiva característica del modelo de Bertrand y las firmas pueden cobrar precios superiores al costo marginal.

En lo que sigue, revisamos el modelo lineal de Hotelling, sus principales supuestos y resultados, para luego examinar algunas aplicaciones de sus principios al análisis de libre competencia.

2. Modelo lineal

Para entender cómo opera el modelo de Hotelling, consideramos un mercado en el que participan dos firmas, la empresa $A$ y la empresa $B$ , y un conjunto de consumidores ubicados a lo largo de una línea continua de longitud unitaria.

Una forma habitual de representar este mercado es imaginar una playa, donde las firmas corresponden a dos heladerías y los consumidores se encuentran distribuidos uniformemente a lo largo de ella. La masa total de consumidores se normaliza a 1. Cada consumidor compra una unidad del bien, la cual le reporta una utilidad $V$ . Sin embargo, para adquirirlo debe pagar no solo el precio fijado por la firma, sino también un costo de transporte igual a $t$ por unidad de distancia recorrida. Se supone, además, que ambas firmas enfrentan un costo marginal constante y simétrico igual a $c$ , y que $V$ es suficientemente alto como para que todos los consumidores compren a alguna de las dos firmas.

A partir de este marco, primero se analiza la competencia en precios cuando las firmas se encuentran ubicadas en los extremos del mercado. Luego, se estudia cómo cambia este equilibrio cuando varía la distancia entre ellas y, finalmente, qué ocurre cuando las propias firmas pueden escoger estratégicamente su ubicación.

2.1. Competencia en precios con firmas en los extremos

En este primer ejercicio, las ubicaciones de las firmas están dadas: la firma $A$ se encuentra en el extremo $0$ de la línea y la firma $B$ en el extremo $1$ . Ambas compiten mediante la fijación simultánea de precios, $p_A$ y $p_B$ , respectivamente.

Para un consumidor ubicado en un punto $z \in [0,1]$ , las utilidades de comprar a cada firma son:

Firma $A$ : el consumidor que le compra a esta firma paga $p_A$ y recorre una distancia $z$ , por lo que incurre en un costo de transporte $tz$ . Su utilidad es:

$U_A=V-p_A-tz$ .

Firma $B$ : el consumidor que le compra a esta firma paga $p_B$ y recorre una distancia $1-z$ , por lo que incurre en un costo de transporte $t(1-z)$ . Su utilidad es:

$U_B=V-p_B-t(1-z)$ .

El consumidor escogerá comprarle a la firma que le entregue una mayor utilidad. En este contexto, existe un consumidor indiferente, ubicado en $\bar z$ (Figura 1), para quien ambas alternativas reportan la misma utilidad:

$U_A=U_B$

Igualando ambas expresiones de utilidad:

$V-p_A-tz=V-p_B-t(1-z)$

Se obtiene la ubicación del consumidor indiferente:

$\bar z = \frac{p_B-p_A}{2t}+\frac{1}{2}$

De este modo, los consumidores que se ubican a la izquierda de $\bar z$ compran a la firma $A$ , mientras que aquellos situados a la derecha compran a la firma $B$ (Figura 1). Como los consumidores están distribuidos uniformemente y su masa total es igual a 1, las demandas de ambas firmas vienen dadas por:

$q_A = \bar z = \frac{p_B - p_A}{2t} + \frac{1}{2}$

$q_B=1 - \bar z = \frac{p_A - p_B}{2t} + \frac{1}{2}$

Figura 1: Consumidor indiferente y división del mercado

Fuente: Elaboración propia.

A partir de las demandas anteriores, el beneficio de cada firma $i$ corresponde al margen obtenido por unidad vendida, $p_i - c$ , multiplicado por la cantidad vendida $q_i$ . Por lo tanto, las funciones de beneficio son:

$\pi_A = (p_A - c)(\frac{p_B - p_A}{2t} + \frac{1}{2})$

$\pi_B = (p_B - c)(\frac{p_A - p_B}{2t} + \frac{1}{2})$

Luego, cada firma elige su precio buscando maximizar sus beneficios, tomando como dado el precio de su rival. Para encontrar ese precio óptimo, se utiliza la condición de primer orden (CPO), que consiste en derivar la función de beneficio respecto del precio propio e igualar el resultado a cero. Para la firma $A$ :

$\frac{\partial \pi_A}{\partial p_A} = \frac{p_B - 2p_A + c}{2t} + \frac{1}{2} = 0$

Al despejar $p_A$ se obtiene la función de reacción de la firma $A$ , que indica su precio óptimo de la firma $A$ para cada precio fijado por la firma $B$ :

$R_A(p_B): p_A = \frac{p_B + t + c}{2}$

Por simetría, la función de reacción de la firma $B$ es:

$R_B(p_A): p_B = \frac{p_A + t + c}{2}$

El equilibrio de Nash en precios corresponde al punto en que ambas mejores respuestas se cumplen simultáneamente. Al resolver ambas funciones de reacción se obtiene:

$p_{A}^{*} = p_{B}^{*} = t + c$

A primera vista, se puede apreciar que, a diferencia del resultado del modelo de Bertrand, el precio de equilibrio es superior al costo marginal. Al sustituir estos precios en la expresión que determina la ubicación del consumidor indiferente, se obtiene:

$\bar z = \frac{1}{2}$

Por lo tanto, cada firma atiende a la mitad del mercado:

$q_{A}^{*}=q_{B}^{*}=\frac{1}{2}$

y obtiene un beneficio de equilibrio igual a:

$\pi_{A}^{*} = \pi_{B}^{*}=\frac{t}{2}>0$

El resultado muestra cómo la diferenciación espacial reduce la intensidad de la competencia en precios. Los consumidores cercanos a una firma deben asumir un mayor costo de transporte para comprarle a su rival, lo que disminuye su disposición a cambiar de proveedor. Esto permite que ambas firmas cobren precios superiores al costo marginal y obtengan beneficios positivos.

Este resultado también se mantiene si, siguiendo a Tirole (1988), se reemplazan los costos de transporte lineales por costos cuadráticos. En este caso, el costo de desplazamiento aumenta con el cuadrado de la distancia, de modo que un consumidor ubicado en $z$ enfrenta un costo $tz^2$ al comprar a la firma $A$ y $t(1-z)^2$ al comprar a la firma $B$ . Manteniendo a las firmas en los extremos del mercado, el equilibrio sigue siendo $p_{A}^{*}=p_{B}^{*}=t+c$ .

La diferencia está en cómo evoluciona el costo de transporte con la distancia. Con costos lineales, este aumenta a una tasa constante, y con costos cuadráticos, aumenta progresivamente a medida que el consumidor se aleja de la firma. En las secciones siguientes mantendremos esta segunda especificación, pues resulta especialmente útil para estudiar cómo la distancia entre las firmas influye en los precios, en sus decisiones de localización y en el bienestar social.

2.2. Precios y grado de diferenciación espacial

Hasta ahora hemos considerado a las firmas ubicadas en los extremos del mercado. Sin embargo, resulta útil analizar cómo cambia la competencia en precios cuando varía la distancia entre ellas. Para ello, se considera una configuración simétrica respecto del centro del mercado, donde la firma $A$ se ubica en $x$ y la firma $B$ en $1-x$ :

$x_A = x; \quad x_B = 1-x \text{, con } 0 \leq x < \frac{1}{2}$ .

Esta representación permite comparar distintos grados de diferenciación espacial. El caso de máxima diferenciación ocurre cuando $x=0$ , de modo que las firmas se ubican en los extremos del mercado, $(x_A,x_B)=(0,1)$ . A medida que $x$ aumenta, ambas firmas se aproximan al centro y la diferenciación disminuye. En el límite, cuando $x \rightarrow 1/2$ , ambas convergen al mismo punto y se alcanza la mínima diferenciación (Figura 2).

Figura 2: Ubicaciones de las firmas y grado de diferenciación espacial

Fuente: Elaboración propia

Para un consumidor ubicado en $z \in [0,1]$ , las utilidades de comprar a cada firma son:

$U_A = V - p_A - t(z-x)^{2}$

$U_B = V - p_B - t(1-x-z)^{2}$

Repitiendo el procedimiento de la sección anterior, la ubicación del consumidor indiferente ( $\bar z$ ) viene dada por:

$\bar z = \frac{p_B - p_A}{2t(1-2x)} + \frac{1}{2}$

Como los consumidores se distribuyen uniformemente y su masa total es igual a $1$ , las demandas son:

$q_A = \frac{p_B - p_A}{2t(1-2x)}, \quad q_B = \frac{p_A - p_B}{2t(1-2x)}$

A partir de estas demandas, las firmas eligen sus precios para maximizar sus beneficios. Las funciones de reacción son:

$R_A(p_B): p_A = \frac{p_B + c + t(1-2x)}{2}, \quad R_B(p_A): p_B = \frac{p_A +c + t(1-2x)}{2}$

Al resolver ambas funciones simultáneamente, se obtiene el equilibrio de Nash en precios:

$p_A^{*} = p_B^{*} = c+t(1-2x)$

Este resultado muestra directamente cómo la distancia entre las firmas afecta la intensidad de la competencia en precios. Dado que las firmas se ubican en $x$ y $1-x$ , la distancia entre ellas es $1-2x$ (Figura 2). Así, con máxima diferenciación ( $x=0$ ), el precio de equilibrio alcanza su nivel más alto, $p^{*}=c+t$ . A medida que las firmas se aproximan y disminuye la diferenciación, la competencia en precios se intensifica y el precio cae. Cuando ambas se ubican exactamente en el mismo punto, desaparece la diferenciación espacial y se recupera el resultado de Bertrand, $p^{*}=c$ .

Dado que los precios de equilibrio de ambas firmas son iguales ( $p_A^{*}=p_B^{*}$ ), el consumidor indiferente se ubica en el centro del mercado:

$\bar z = \frac{1}{2}$

por lo que cada firma atiende a la mitad de los consumidores. Así, en este ejercicio, una mayor separación incrementa los beneficios no porque las firmas vendan más, sino porque una mayor diferenciación les permite cobrar precios más altos.

2.3. Elección estratégica de localización

Hasta ahora hemos analizado cómo la distancia entre las firmas afecta la competencia en precios, tomando sus ubicaciones como dadas. La pregunta ahora es qué ocurre cuando las propias firmas pueden escoger dónde ubicarse. En este caso, la localización pasa a ser una decisión estratégica y el juego se desarrolla en dos etapas: (1) las firmas eligen simultáneamente su ubicación y (2), dadas esas ubicaciones, compiten mediante la fijación de precios.

La elección de localización refleja dos fuerzas contrapuestas:

Efecto demanda: acercarse al rival puede permitir a una firma captar una mayor proporción del mercado.
Efecto precio: alejarse del rival aumenta la diferenciación entre ambas y reduce la intensidad de la competencia en precios.

Esta tensión puede expresarse, de manera simplificada, a partir del efecto de la localización de la firma $A$ sobre sus beneficios de equilibrio:

$\frac{d \pi_A}{d x_A} = (p_A^{*} - c)[\frac{\partial q_A}{\partial x_A} + \frac{\partial q_A}{\partial p_B} \frac{\partial p_B^{*}}{\partial x_A}]$

La expresión muestra que un cambio en la ubicación de la firma $A$ afecta sus beneficios por dos canales. Por un lado, moverse hacia la firma $B$ puede aumentar directamente su demanda, al acercarla a una mayor cantidad de consumidores. Por otro, ese mismo movimiento hace que ambas firmas sean sustitutos más cercanos, lo que intensifica la competencia en precios y lleva a la firma $B$ a reducir su precio, afectando negativamente la demanda de $A$ . El primer canal corresponde al efecto demanda, mientras que el segundo corresponde al efecto precio.

Con costos de transporte cuadráticos, el efecto precio domina al efecto demanda. En consecuencia, cada firma tiene incentivos a alejarse de su rival y el equilibrio se caracteriza por máxima diferenciación:

$x_A^{*} = 0; \quad x_B^{*} = 1$

Una resolución completa del juego requeriría obtener los precios y beneficios de equilibrio para cada posible combinación de ubicaciones de las firmas. Siguiendo a Church y Ware (2000), en lugar de desarrollar esta derivación completa, se utiliza la intuición de los resultados anteriores para identificar las dos fuerzas que determinan la elección de localización. La demostración formal puede encontrarse en d’Aspremont et al. (1979), Tirole (1988) y Neven (1985).

3. Aplicaciones en regulación económica

3.1. Liberalización del transporte urbano en Santiago

La liberalización del transporte urbano de Santiago permite ilustrar una lógica similar a la del modelo de Hotelling. Hasta fines de la década de 1970, el sector se encontraba fuertemente regulado por el Estado, particularmente en materias de entrada, recorridos y tarifas. A partir de 1979 se flexibilizaron las restricciones de entrada y recorridos y, desde 1983, los operadores pudieron fijar libremente sus tarifas.

La reforma produjo un importante aumento de la oferta. El número de buses pasó de 5.185 en 1979 a 7.278 en 1983 y alcanzó un máximo de 13.698 en 1990. Sin embargo, este aumento no se tradujo en menores precios, ya que entre 1979 y 1990, la tarifa real promedio aumentó casi un 100% (Estache & Gómez-Lobo, 2005).

Una explicación para este resultado se encuentra en la diferenciación temporal entre los buses. Incluso cuando dos servicios llevan al pasajero al mismo destino, estos no son sustitutos perfectos si existe un intervalo de tiempo entre la llegada de uno y otro (Estache & Gómez-Lobo, 2005).

Supongamos que el bus 1 llega primero y cobra una tarifa $p_1$ , mientras que el siguiente cobra $p_2$ . Si $t$ representa el valor del tiempo para el consumidor y $h$ el tiempo de espera entre ambos buses, optar por el segundo implica asumir un costo adicional igual a $t \cdot h$ .

Por lo tanto, al pasajero solo le convendrá esperar si el ahorro en la tarifa compensa ese costo:

$p_1 > p_2 + t \cdot h$

De manera equivalente, el primer bus puede cobrar una tarifa superior y aun así conservar al pasajero si:

$p_1 < p_2 + t \cdot h$

La lógica es muy similar a la del modelo de Hotelling. En ambos casos, el consumidor no compara únicamente precios, sino también el costo de cambiar de alternativa. En Hotelling, este depende de la distancia que debe recorrer para comprarle a la firma rival, y en el transporte urbano, del tiempo que debe esperar al siguiente bus. Estos costos reducen la presión competitiva sobre los precios, ya que una alternativa más barata no necesariamente logra captar a los consumidores que ya se encuentran próximos a otra firma.

Esto ayuda a explicar por qué el aumento en el número de operadores no se tradujo necesariamente en menores tarifas. Los costos de espera permiten mantener precios relativamente elevados que, a su vez, aumentan la rentabilidad de operar un bus e incentivan la entrada de nuevos vehículos y la competencia por llegar primero al paradero. Así, la competencia puede desplazarse desde los precios hacia la frecuencia, generando una combinación de tarifas elevadas y entrada excesiva (Estache & Gómez-Lobo, 2005).

La experiencia de Santiago fue consistente con esta dinámica. El fuerte crecimiento del número de buses estuvo acompañado por una caída en sus tasas de ocupación y por mayores problemas de congestión y contaminación. Frente a estos resultados, en 1991 se introdujo un sistema de licitaciones para la asignación de recorridos. Tras esta reforma, las tarifas reales comenzaron a disminuir, se redujo el número de buses y aumentó su utilización promedio (Estache & Gómez-Lobo, 2005).

4. Jurisprudencia nacional

4.1. Fusión Oxxo/OK Market

La relevancia de la diferenciación espacial también puede observarse en el análisis de operaciones de concentración. Un ejemplo es la adquisición de OK Market por parte de Oxxo, analizada por la Fiscalía Nacional Económica (FNE) durante 2020 y 2021. La operación contemplaba el traspaso de 126 locales de OK Market a Oxxo, quien ya operaba 109 locales en Chile.

Las tiendas de conveniencia presentan características que hacen particularmente relevante su ubicación. Su propuesta de valor consiste, en buena medida, en satisfacer compras de impulso, urgencia o reposición de forma rápida y “al paso”. La investigación de la FNE mostró que la cercanía era uno de los atributos más valorados por los consumidores y que estos presentaban una baja disposición a desplazarse grandes distancias para sustituir una tienda por otra.

Esta característica recuerda directamente la lógica del modelo de Hotelling. Un consumidor no considera únicamente el precio de dos tiendas, sino también el costo asociado a desplazarse hasta cada una de ellas. Así, dos locales que venden productos similares pueden ejercer una presión competitiva muy distinta dependiendo de su ubicación.

En línea con esta lógica, la FNE definió mercados geográficos locales, considerando un área de influencia de 300 metros en torno a cada tienda, y complementó este análisis con un examen de cercanía competitiva. Para ello, consideró tanto la distancia entre los locales como otras características relevantes, entre ellas el mix de productos, el tamaño y el tipo de acceso.

La investigación concluyó que Oxxo y OK Market eran competidores especialmente cercanos. La encuesta realizada por la FNE mostró, además, que, ante la indisponibilidad de una tienda de una de las cadenas, una proporción importante de consumidores se trasladaría a la otra. La conexión con Hotelling aparece precisamente en este punto. Cuanto más próximas son dos firmas, mayor puede ser la presión competitiva que ejercen entre sí. Si dos tiendas cercanas pasan a pertenecer a una misma empresa, parte de esa presión desaparece, aumentando los incentivos de la entidad fusionada a elevar sus márgenes.

La FNE concluyó que la operación podía reducir sustancialmente la competencia y la aprobó sujeta a medidas de mitigación. Entre ellas, exigió la desinversión de 16 locales, la renuncia a determinadas cláusulas de exclusividad y la mantención temporal de ciertos establecimientos.

5. Jurisprudencia internacional

5.1. Tesco y las restricciones sobre terrenos

Otra aplicación de la lógica espacial puede observarse en el mercado británico de supermercados. Entre 2006 y 2008, la Competition Commission investigó el funcionamiento del sector y detectó problemas de competencia en algunos mercados locales, asociados tanto a su elevada concentración como al control de terrenos por parte de supermercados incumbentes. En particular, ciertos acuerdos sobre terrenos podían dificultar la instalación de nuevos competidores en áreas próximas a establecimientos existentes.

Como respuesta, en 2010 se dictó la Groceries Market Investigation (Controlled Land) Order, que limita la posibilidad de que grandes cadenas utilicen cláusulas restrictivas o acuerdos de exclusividad para impedir que determinados terrenos sean utilizados por supermercados competidores. La regulación incluye, además, un análisis espacial basado en áreas de 10 minutos de viaje en automóvil, utilizadas para determinar si una restricción sobre un terreno puede afectar a la competencia de una tienda cercana.

La relación con el modelo de Hotelling aparece en el papel estratégico que adquiere la ubicación. Si los consumidores valoran la proximidad, impedir que un rival se instale cerca de una tienda existente puede reducir la presión competitiva que esta enfrenta. La localización, por tanto, no solo determina qué consumidores atiende cada empresa, sino que también puede influir en la posibilidad de entrada de nuevos competidores y en la estructura futura del mercado.

En 2020, la Competition and Markets Authority (CMA) determinó que Tesco había incumplido esta regulación en 23 acuerdos sobre terrenos. Tres correspondían a cláusulas restrictivas que podían impedir la apertura de tiendas competidoras cerca de establecimientos Tesco, mientras que otros veinte otorgaban derechos de exclusividad por períodos superiores a los cinco años permitidos. Tesco aceptó adoptar medidas para eliminar las restricciones afectadas y reforzar sus procedimientos de cumplimiento.

Este caso permite extender la intuición de Hotelling desde la elección de localización de las firmas hacia las condiciones de entrada al espacio competitivo. Cuando una empresa puede limitar la disponibilidad de ubicaciones cercanas para sus rivales, puede dificultar la aparición de alternativas que ejercerían una mayor presión competitiva precisamente por su proximidad.