Stackelberg (modelo)

El Modelo de Stackelberg (también llamado “competencia secuencial en cantidades” o “modelo líder-seguidor”) fue planteado por el economista alemán Heinrich von Stackelberg en Marktform und Gleichgewicht (1934). Su punto de partida es la literatura del momento sobre oligopolios, la cual presenta como, en un mercado con un reducido número de firmas, estas son conscientes de la existencia de sus competidores y, por ende, reconocen su interdependencia. Esta interdependencia quiere decir que las empresas saben que todas sus decisiones tendrán una respuesta por parte de sus competidores, y que, por lo tanto, deben anticipar la reacción de sus rivales antes de decidir.

Lo que Stackelberg modifica de los modelos de la época es el momento en que las empresas deciden. Por ejemplo, en el modelo de Cournot las firmas escogen de manera simultánea cuánto producir, de modo que ninguna observa la decisión de la otra antes de tomar la propia. Lo que Stackelberg supone, en cambio, es que las decisiones se toman en secuencia, donde una empresa fija su cantidad primero y la otra recién decide después de observarla. En términos de teoría de juegos, se pasa de un juego estático a uno dinámico.

El modelo de Stackelberg se compone de la siguiente forma: por un lado, tenemos a la empresa que decide primero, la cual se denomina líder, y luego, la que decide después es la empresa seguidora. Todo lo demás puede mantenerse igual que en el modelo de Cournot: bienes homogéneos, competencia en cantidades, información perfecta y ausencia de restricciones de capacidad. El único cambio es el timing, el cual parece un cambio menor, pero sin embargo alterara sustantivamente el equilibrio.

Conviene definir desde un inicio qué significa “líder” en este modelo, porque la expresión induce a confusión. Ser líder Stackelberg no equivale a ser la empresa dominante, la más grande o la de mayor participación de mercado. La condición es más específica y tiene tres componentes: (i) una empresa decide antes que las otras; (ii) su decisión es observable por el resto; y, (iii) esa decisión no puede revertirse una vez que los rivales responden.

Ese último elemento es denominado por la literatura como compromiso. Si el líder pudiera modificar su cantidad después de ver la respuesta del seguidor, su anuncio inicial no tendría valor estratégico y el juego volvería a resolverse como si las decisiones fueran simultáneas. El compromiso suele provenir de decisiones difíciles de deshacer en el corto plazo, como una inversión en capacidad, un contrato de aprovisionamiento de largo plazo o la puesta en marcha de una planta, etc.

Naturalmente, en la práctica, el liderazgo y el tamaño suelen ir de la mano. Una empresa grande, integrada verticalmente o con acceso privilegiado a un insumo tendrá más facilidad para comprometerse de manera creíble. Pero se trata de una correlación empírica y no de una definición. Lo que el modelo exige es una ventaja de primer movimiento, no una posición dominante.

Siguiendo la nomenclatura de González (2025), el modelo considera un mercado con dos firmas que producen un bien homogéneo, compiten en cantidades y tienen costos marginales constantes e iguales a c. La demanda de mercado se resume en la función de demanda inversa P(Q), donde Q es la cantidad total ofrecida. Ambas firmas conocen la demanda y la estructura de costos de su rival.

Cómo se mencionó anteriormente, la diferencia con el modelo simultáneo (o modelo de Cournot) está en el orden de las decisiones:

t=1, la firma 1 (líder) escoge q_1; y

t=2, la firma 2 (seguidor) observa q_1 y escoge q_2

Un juego con esta estructura se resuelve por inducción hacia atrás: primero se determina qué hará la firma que decide en último lugar (es decir, la firma 2), para luego retroceder y resolver el problema de la que decide al comienzo, esto es, determinar qué hará la firma 1, teniendo en cuenta la posible respuesta de la firma 2.  Dicho de otra forma, este modelo se resuelve “de atrás hacia adelante”.

El problema del seguidor:

Cómo dijimos anteriormente, el modelo de resuelve por inducción hacia atrás, por lo que, lo primero que tenemos que hacer es ver la respuesta de la seguidora en t=2.

En t=2, la firma 2 toma q_1 como un dato dado, ya que fue elegido con anterioridad y es observable, con este dato, la firma maximiza sus beneficios respecto de su propia cantidad. Ese problema es exactamente el mismo que resuelve una firma en el modelo Cournot clásico, de modo que su solución es la conocida función de reacción o mejor respuesta derivada de dicho modelo:

q_2=q_2^*(q_1)

Esta función indica la cantidad óptima de la seguidora para cada cantidad previamente escogida por la empresa líder. Bajo los supuestos habituales, la función de reacción tiene pendiente negativa: mientras mayor sea la producción del líder, menor es la cantidad que le conviene producir a la seguidora.

El problema del líder:

Ya solucionado el problema de maximización del seguidor, ahora toca la segunda etapa de la resolución del modelo, yendo un periodo hacía atrás, a t=1, y viendo como resuelve el líder su problema de maximización, sabiendo la respuesta de la empresa seguidora.

En t=1, la firma líder (firma 1) conoce la función de reacción de su rival y la incorpora como restricción al decidir:

\max\limits_{q_1} \; \pi_1(q_1, q_2), sujeto a:

q_2 = q_2^{*}(q_1)

Con costos marginales constantes, la función de beneficios de la líder es:

\pi_1 = (P(Q) - c)q_1

Donde la cantidad total ya no es una suma de decisiones independientes, sino que depende únicamente de q_1:

Q = q_1 + q_2^{*}(q_1)

Al derivar respecto de q_1, debe considerarse que la cantidad total cambia por dos vías: (i) por la variación directa de la propia producción; y, (ii) por la respuesta que esa variación induce en la seguidora. La condición de primer orden entonces es:

\frac{d\pi_1}{dq_1} = (P - c) + P'(Q)\left[\frac{dQ}{dq_1} + \frac{dQ}{dq_2}\frac{dq_2^{*}}{dq_1}\right] q_1 = 0

Como Q = q_1 + q_2, las derivadas de Q respecto de cada cantidad son iguales a uno, y la expresión se reduce a:

\frac{d\pi_1}{dq_1} = (P - c) + P'(Q)\left[1+\frac{dq_2^{*}}{dq_1}\right] q_1 = 0

Esta es la ecuación central del modelo. Comparada con la condición de primer orden del modelo simultáneo (o modelo de Cournot), esta contiene un término adicional: dq_2^*/dq_1, que corresponde a la pendiente de la función de reacción de la firma que mueve en segundo lugar. Su presencia refleja que la firma líder no toma como dada la cantidad rival, sino que internaliza el efecto que su propia decisión produce sobre ella.

La interpretación económica es directa. Como la función de reacción tiene pendiente negativa, se cumple que:

\frac{dq_2^{*}}{dq_1}<0

De esta manera, un aumento de la cantidad producida por la líder induce una reducción en la cantidad óptima de la seguidora. Esa contracción de la oferta de la rival atenúa la caída del precio que normalmente acompaña a un aumento de la producción propia, es decir, el precio cae menos de lo que caería en un contexto donde solamente importa la producción propia. Por eso a la firma que mueve primero le conviene producir más de lo que produciría en un juego simultáneo.

Ejemplo con demanda lineal:

Para cuantificar el resultado, se utiliza la función de demanda lineal Q(P)=A-P, con un costo marginal constante igual a c. Bajo esta especificación, la función de reacción de la seguidora es:

q_2^{*}(q_1) = \frac{1}{2}(A - c - q_1)

Cabe destacar, como se mencionó anteriormente, que la función de reacción de la seguidora es la misma que en el modelo de Cournot, por lo que, para ver la derivación completa, véase el glosario: Modelo de Cournot. Reemplazando esta función de reacción en el problema de maximización de la líder, derivado en la sección anterior, tenemos que la condición de primer orden es:

P(Q) - c - \left[1 - \frac{1}{2}\right] q_1 = 0

Despejando y reemplazando en la función de reacción de la firma 2, se obtienen las cantidades de equilibrio de ambas firmas:

q_1^{S} = \frac{1}{2}(A - c); y

q_2^{S} = \frac{1}{4}(A - c)

Luego, la cantidad total y el precio de equilibrio son, respectivamente:

Q^{S} = \frac{3}{4}(A - c); y

P^{S} = \frac{A + 3c}{4}

De este modo, se puede ver que el precio se mantiene por sobre el costo marginal y ambas firmas ejercen poder de mercado. Los beneficios correspondientes de cada firma son:

\pi_1^{S} = \frac{1}{8}(A - c)^2; y

\pi_2^{S} = \frac{1}{16}(A - c)^2

Cómo se puede ver en las cantidades, precio y beneficios en el equilibrio, el resultado estándar del modelo es que la firma que mueve primero produce más y obtiene mayores beneficios que la que mueve después. Comparando con el equilibrio del juego simultáneo, en el que ambas firmas producen q^{N} y obtienen \pi^{N}, se verifica que:

q_1^{S} \geq q^{N} \geq q_2^{S}; y,

\pi_1^{S} \geq \pi^{N} \geq \pi_2^{S}

El equilibrio también puede leerse gráficamente. Sobre el plano de las cantidades de ambas firmas se dibujan la función de reacción de la seguidora y las curvas de isobeneficio del líder (combinaciones de q_1 y q_2 que le reportan un mismo nivel de beneficio a la empresa líder). Como el beneficio de la líder crece a medida que su rival produce menos, las curvas más bajas corresponden a beneficios mayores.

Figura 1: Equilibrio en el Modelo de Stackelberg

Fuente: Elaboración propia en base a González (2025).

La Figura 1 muestra que el líder no puede escoger cualquier combinación de cantidades, está restringida a la función de reacción de la seguidora, porque sabe que esa será la respuesta a lo que decida. Dentro de esa restricción, escoge el punto que la sitúa en la curva de isobeneficio más alta posible, lo que ocurre justamente donde una de esas curvas es tangente a la función de reacción del rival. Ese punto de tangencia es el equilibrio de Stackelberg (S), con q_1^{S} en el eje horizontal y q_2^{S} en el vertical. El punto N, que aparece como referencia, corresponde al equilibrio del modelo de Cournot, donde ambas funciones de reacción se intersectan.

Una advertencia importante que precisar, la ventaja de mover primero es un resultado propio de la competencia en cantidades y no puede extrapolarse sin más a otras formas de competencia. Cuando las empresas compiten en precios (al respecto, ver glosario CeCo: Modelo de Bertrand), el resultado tiende a revertirse y suele ser preferible decidir después, porque quien mueve al final puede socavar el precio anunciado por el rival.

A fines de noviembre de 2010, Soprole Inversiones S.A. y Nestlé Chile S.A. consultaron al TDLC sobre la formación de un joint venture destinado a elaborar y comercializar una amplia gama de productos lácteos (Rol NC N° 384-10, acumulado al Rol NC N° 385-10). En marzo de 2011 la Fiscalía Nacional Económica (“FNE” o la “Fiscalía”) aportó antecedentes conforme al artículo 31 N° 1 del DL 211 y se opuso a la operación. Cabe precisar que las Soprole y Nestlé retiraron sus consultas en abril de ese año, de modo que el TDLC no alcanzó a pronunciarse sobre el fondo del asunto, dicho aquello, lo que se revisa aquí es el análisis económico de la FNE y no una decisión jurisdiccional.

De los varios mercados examinados por la Fiscalía, el importante para los fines de este glosario es el de aprovisionamiento de leche cruda, respecto de este la FNE concluyó que tenía alcance nacional, y que la principal preocupación era el poder de compra de las empresas. En este mercado, Soprole y Nestlé eran los dos principales compradores no cooperados de leche cruda del país, y la operación reforzaba la capacidad conjunta de fijar las condiciones de compra frente a los productores (al respecto, ver Glosario CeCo: Monopsonio).

La Fiscalía observó que en ese mercado existía un marcado seguimiento de las pautas de precios fijadas por Soprole. Aun así, los compradores rivales ejercían cierta disciplina competitiva, tanto que, si Soprole reducía en exceso el precio pagado, otro comprador de envergadura similar podía captar parte de sus productores. De hecho, Nestlé pagaba un precio base algo más alto en las zonas donde ambas empresas competían por la captación de leche.

Para analizar cómo la operación alteraría esos incentivos, la FNE acompañó el Anexo N° 2 (en adelante, simplemente “Anexo”) titulado expresamente “modelo de Stackelberg”. Su estructura reproduce la del modelo básico, con dos adaptaciones: (i) la variable competitiva o de decisión no es la cantidad vendida, sino la cantidad de litros de leche comprados; (ii) el mercado se representa con una firma líder, Soprole, y n firmas seguidoras idénticas.

El Anexo supone que cada empresa extrae un valor unitario v por litro adquirido y que el precio de compra crece con el volumen total demandado, esto corresponde a un precio: p(Q)=c+Q. Por lo tanto, el problema que resuelve una empresa seguidora cualquiera en t=2 es:

\max\limits_{q_i} \; v q_i - p(Q) q_i

De donde se obtiene su función de reacción como vimos anteriormente. Soprole, por su ventaja de primer movimiento, conoce las funciones de reacción de las seguidoras (q_2 = q_2^{*}(q_1)) y resuelve su propio problema anticipándolas, que es exactamente lo que se desarrolló en la sección anterior, pero ahora del lado de la demanda. Resolviendo el modelo, las cantidades adquiridas en equilibrio resultan ser:

q_s^{*} = \frac{v - c}{2}; y

q_i^{*}(n) = \frac{v - c}{2(n + 1)}

El ejercicio relevante viene después. Con el desarrollo del modelo ya realizado, FNE compara: el beneficio conjunto de Soprole, Nestlé y el joint venture actuando de manera independiente, cada uno como un agente más dentro del grupo de compradores; con el beneficio de una única firma líder que enfrenta dos seguidoras menos. La diferencia entre ambos escenarios resulta positiva, lo que implica que a las tres entidades les convendría maximizar beneficios de manera conjunta antes que separadamente. De ahí la conclusión del análisis, materializado el joint venture, resultaría económicamente racional que Soprole, Nestlé y el JV actuaran como un solo agente de mercado, al menos en lo que respecta a la compra de leche. Sobre esa base, la Fiscalía sostuvo que las medidas de mitigación ofrecidas por las consultantes no eran suficientes para impedir el ejercicio colectivo de poder de mercado.

Para cerrar, un detalle conceptual por si se revisa el informe, el expediente contiene dos elementos que son fáciles de confundir. Uno es la evidencia de seguimiento de precios hacia Soprole, que es una observación empírica sobre cómo se fijan los precios de compra en ese mercado. El otro es el modelo de Stackelberg en cantidades del Anexo, que es una construcción teórica sobre decisiones de compra de volumen de leche. El primero puede hacer más plausible al segundo, pero no son lo mismo, el liderazgo de precios y liderazgo en cantidades son fenómenos distintos, con modelos y predicciones propias.

El 30 de noviembre de 2011 la FNE requirió a Agrosuper, Ariztía y Don Pollo, junto con la Asociación de Productores Avícolas (“APA”), por un acuerdo destinado a limitar la producción de pollo en el mercado nacional. El TDLC acogió el requerimiento y la Corte Suprema confirmó la sanción por colusión. Lo que se analiza aquí es el informe económico “Estimación de los daños económicos generados por la colusión en la industria de pollo en Chile”, elaborado por Andrés Gómez-Lobo y José Luis Lima a solicitud de la FNE. Los autores parten de la existencia de la colusión y no la discuten, su problema es otro, calcular el precio que habría prevalecido sin el acuerdo, para poder construir un contrafactual de la colusión, y luego, contrastarlo con el efectivamente cobrado, para así determinar los daños del acuerdo de las empresas.

Aquí conviene ser precisos con la denominación. La sección 4.3 del informe se titula “Modelo de competencia de Cournot”, porque el supuesto de conducta es competencia en cantidades. Sin embargo, la especificación implementada, incorpora una estructura líder-seguidor propia del modelo de Stackelberg acá desarrollado. Esto, dado que Agrosuper, Ariztía y Don Pollo, que en conjunto superaban el 80% de las ventas domésticas, se tratan como líderes que fijan sus cantidades considerando la reacción que su oferta genera. Santa Rosa, Codipra y las importaciones se tratan como seguidores que se acomodan a la demanda residual. No es entonces un Stackelberg básico de un líder y un seguidor, sino competencia en cantidades organizada en dos niveles.

La parametrización requiere insumos como participaciones de mercado de cada grupo, número de empresas en cada uno, costos marginales aproximados mediante costos variables medios calculados con información entregada por las propias empresas, y la elasticidad de la demanda mayorista. Esta última no se estima en el informe, se toman las estimaciones de Quiroz Consultores Asociados (2008), de -0,93 para pechuga y -1,393 para trutro, y resuelven el modelo bajo ambos supuestos como análisis de sensibilidad.

El uso del modelo importa porque el precio competitivo simulado funciona como contrafactual, y la diferencia con el precio efectivamente observado entrega el sobreprecio, el uso de otro modelo o el hacer el ejercicio con un modelo “erróneo”, hace que el precio del contrafactual esté mal calculado y con ello, los daños. En el informe mencionado, los resultados entregan que: con una elasticidad de -0,93 los sobreprecios estimados van de 12,9% a 16,2% entre 2008 y 2010; con una elasticidad de -1,393, de 15,8% a 17,9%. Aplicados esos sobreprecios a las ventas de cada empresa, el informe estima un daño económico directo del orden de 33,3 millones de UF, de los cuales 12,8 millones corresponden al período con información de precios y ventas (2006-2010) y 20,5 millones al período anterior (1996-2005).

El caso mexicano es un gran ejemplo de cómo un modelo teórico de Organización Industrial termina siendo usado en una herramienta cuantitativa aplicada por una autoridad de competencia.

En septiembre de 2008 Mexichem y Cydsa notificaron a la Comisión Federal de Competencia su intención de concentrarse. Ambas eran, a través de sus filiales, las dos únicas productoras nacionales de resina de PVC, insumo esencial para la fabricación de tuberías y conexiones. Además, el acceso a proveedores extranjeros estaba restringido por cuotas compensatorias aplicadas a las importaciones provenientes de Estados Unidos. En mayo de 2009 la Comisión resolvió rechazar la operación, tanto por el riesgo de la creación de un monopolio en el mercado de la resina como por los riesgos verticales en tuberías y conexiones. El 30 de septiembre de ese año se eliminaron las cuotas de importación, las empresas volvieron a notificar la operación en diciembre y, en agosto de 2010, la operación fue autorizada bajo medidas de mitigación.

Años después, la propia autoridad evaluó ex post esas decisiones. Para modelar la estructura previa a la concentración utilizó una simulación estructural de un duopolio tipo Stackelberg, con demanda inversa lineal y costos marginales distintos entre ambas firmas. El escenario posterior a la concentración se representa como un monopolio con dos plantas, en el que prevalece el costo marginal más bajo.

El modelo no se resuelve con parámetros de literatura o supuestos, sino calibrados con datos del mercado. El insumo clave es la elasticidad-precio de la demanda, que no se conoce ex ante y debe estimarse. La autoridad utiliza una especificación log-log sobre 70 observaciones mensuales entre diciembre de 2003 y septiembre de 2009:

\ln Q_t = \alpha + \eta \ln P_t + \gamma PPI_t + \beta \ln CA_t + \varepsilon_t

Donde Q_t es el volumen total de ventas nacionales de resina de PVC, P_t su precio de venta en dólares por tonelada, PPI_t el subíndice de tuberías de plástico del Índice Nacional de Precios al Productor, CA_t el consumo nacional aparente de tuberías de PVC y \varepsilon_t el término de error. En una especificación de este tipo el coeficiente \eta se interpreta directamente como la elasticidad-precio de la demanda.

El precio, sin embargo, el modelo es endógeno, ya que, precio y cantidad se determinan simultáneamente en el mercado, de modo que estimar la ecuación por mínimos cuadrados ordinarios entrega un coeficiente sesgado. Por eso la autoridad recurre a variables instrumentales y utiliza como instrumento el precio de compra del monómero de cloruro de vinilo (VCM), el principal insumo de la resina. Hay que tener ojo con lo anterior, la ecuación anterior no estima un modelo de Stackelberg ni prueba que el mercado sea líder-seguidor. Su función es más acotada, la de entregar un parámetro de demanda sin el cual el modelo estructural no puede calibrarse.

Luego, con la elasticidad, los precios y cantidades previos a la operación se calibra la demanda, y los costos marginales, que no se observables, se recuperan de las condiciones de primer orden del modelo. Con ambos insumos la autoridad resuelve el equilibrio de Stackelberg previo a la concentración y simula el posterior. Con ambos escenarios ya resueltos, la autoridad puede leer los efectos sobre precio, cantidad y bienestar. Bajo el escenario en que la concentración se hubiese autorizado con las cuotas de importación aún vigentes, la simulación arroja un precio 36,26% más alto y una cantidad comercializada 21,38% menor. La pérdida de bienestar del consumidor evitada por la decisión de la autoridad se estima en aproximadamente 7,3 millones de dólares, con un límite superior de 9,4 millones según cuál sea el costo marginal que se atribuya a la empresa concentrada. Un segundo ejercicio compara el escenario simulado con los datos observados tras la eliminación de las cuotas, el precio cae 29,42% y la cantidad demandada aumenta 83,46%, lo que se traduce en una ganancia de bienestar del consumidor cercana a 10,1 millones de dólares.

Estos resultados descansan en supuestos deliberadamente conservadores, como efectos limitados a un año, el costo marginal más bajo entre los disponibles y una demanda lineal. Deben leerse, además, como una evaluación institucional ex post interesante que muestra como un modelo teórico, al parametrizarse puede dar en cuenta conclusiones empíricas potentes y hacer una cuantificación de daños precisa.